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Les formules de base des probabilités sont testées sous forme de calculs directs ou de problèmes composés. Les maîtriser par cœur évite les erreurs sous pression.
P(A)=0.6, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.3. P(A∪B) = 0.6+0.5−0.3 = 0.8 P(A|B) = 0.3/0.5 = 0.6 = P(A) → A et B indépendants.
Confondre P(A|B) et P(B|A). Ce sont deux valeurs DIFFÉRENTES. P(A|B) = P(A∩B)/P(B). P(B|A) = P(A∩B)/P(A). Inverser le dénominateur change tout.
La conditionnelle se lit 'sachant'. P(A|B) = 'P de A sachant B'. Le dénominateur est l'événement connu: P(A|B) → diviser par P(B).
Les suites arithmétiques apparaissent régulièrement, souvent combinées avec des inégalités, des seuils ou des preuves par récurrence. Terme général et somme sont indispensables.
U₁ = 3, r = 2. U₁₀ = 3 + 9×2 = 21 S₁₀ = 10 × (3 + 21)/2 = 120
Appliquer Uₙ = U₁ + (n−1)r quand la suite commence à U₀. Si U₀ est le 1er terme, la formule est Uₙ = U₀ + n·r. Vérifier toujours l'indice de départ.
Arithmétique = addition régulière. 'r pour raison = ajout constant'. Somme = moyenne des extrêmes × nombre de termes.
Les suites géométriques sont indispensables, notamment pour les calculs de taux d'intérêt composés et les problèmes d'évolution. La somme géométrique est un outil incontournable.
U₁ = 4, q = 1/2. U₅ = 4 × (1/2)⁴ = 1/4 S₅ = 4 × (1 − (1/2)⁵) / (1 − 1/2) = 31/4
Confondre la somme de U₁ à Uₙ (n termes) avec la somme de U₀ à Uₙ₋₁. Clarifier les bornes avant d'appliquer la formule. Un décalage d'indice donne un résultat faux.
q > 1 → diverge. |q| < 1 → converge vers 0. q = 1 → constante. q = −1 → oscille. 4 comportements, 4 cas à reconnaître.
La récurrence est une méthode de démonstration standard. Les concours exigent une structure rigoureuse en 3 étapes explicitement nommées, toujours dans cet ordre.
Prouver Uₙ = 3ⁿ (U₀=1, Uₙ₊₁=3Uₙ). Init: U₀ = 1 = 3⁰ ✓ Héréd: Uₙ₊₁ = 3×3ⁿ = 3ⁿ⁺¹ ✓ Conclusion: Uₙ = 3ⁿ pour tout n ∈ ℕ.
Oublier d'écrire 'd'après l'hypothèse de récurrence' lorsqu'on utilise P(n) dans l'étape d'hérédité. Sans cette mention explicite, la démonstration est incomplète.
IHC = Initialisation → Hérédité → Conclusion. Mémo: 'Je Hasarde une Conclusion'. Jamais sauter ou fusionner les étapes.
Pour une suite Uₙ₊₁ = f(Uₙ), déterminer le sens de variation sans calculer tous les termes. La méthode directe: étudier le signe de Uₙ₊₁ − Uₙ ou comparer f à l'identité.
Uₙ₊₁ = (Uₙ+4)/2, U₀=0. Point fixe: x=(x+4)/2 → x=4. U₁=2, U₂=3 → croissante bornée par 4 → converge vers 4.
Calculer quelques termes numériques et conclure sans démonstration. Les concours exigent une démonstration formelle (récurrence ou étude du signe). L'observation numérique seule = 0 point.
Point fixe = limite éventuelle de la suite. Trouver le point fixe d'abord, puis montrer que la suite converge vers lui par monotonie + bornitude.
Les erreurs de dénombrement sont très fréquentes. La distinction ordre/non-ordre est fondamentale. Confondre arrangement et combinaison coûte la totalité des points du calcul.
Équipe de 3 parmi 8 joueurs: C(8,3) = 56 (ordre non important). Code à 3 chiffres distincts parmi 8: A₈³ = 8×7×6 = 336 (l'ordre compte).
Utiliser C(n,k) pour un code PIN, un podium ou un mot. Dans ces cas, l'ordre compte → utiliser A(n,k). Se demander: 'changer l'ordre donne-t-il quelque chose de différent?'
C pour Choisir sans ordre. A pour Arranger avec ordre. Mémo: 'C = Comité (pas d'ordre), A = Athlètes sur podium (ordre compte)'.
L'étude complète est un exercice structuré. L'ordre des étapes est attendu et garantit de ne rien oublier. Chaque étape prépare la suivante.
f(x) = (2x+1)/(x-1). Df = ℝ\{1}. lim(x→1⁺)=+∞ → AV: x=1. lim(x→±∞)=2 → AH: y=2. f'(x) = -3/(x-1)² < 0 → décroissante sur chaque intervalle.Oublier que f'(a) = 0 n'implique pas toujours un extremum. Si f' ne change pas de signe en a, c'est un point d'inflexion, pas un extremum.
DLAD-PTC: Domaine → Limites → Asymptotes → Dérivée → Variation → Points → Tracé. Mémo: 'Des Limites Admirables Des Professeurs Toujours Clairs'.
Les formes indéterminées (∞/∞, 0/0, ∞−∞, 0×∞) ont chacune un raccourci standard. Les appliquer mécaniquement évite les impasses sous pression.
lim(x→+∞) [√(x²+x) − x]. Multiplier par conjugué: = x/(√(x²+x)+x) → 1/(√(1+1/x)+1) → 1/2
Conclure que ∞ − ∞ = 0 ou ∞/∞ = 1 sans calculer. Ces formes sont indéterminées: leur valeur dépend des vitesses de croissance. TOUJOURS factoriser ou transformer avant de conclure.
4 formes → 4 méthodes: ∞/∞ → terme dominant | 0/0 → factoriser ou DL | ∞−∞ → conjugué | 0×∞ → réécrire en fraction.
Les asymptotes caractérisent le comportement de la courbe à l'infini et près des singularités. Les identifier et calculer les coefficients est attendu dans toute étude de fonction.
f(x) = (x²+1)/(x−1). AV: x=1. f(x)/x → 1 = a. f(x)−x → 1 = b. AO: y = x+1.
Chercher une AO quand il y a déjà une AH. Si lim f(x) = b (fini), il y a AH et AUCUNE AO. L'AO n'existe que si f(x) → ±∞.
AV: dénominateur = 0. AH: limite finie. AO: si pas d'AH, vérifier f(x)/x. Dans l'ordre: AV → AH → si pas d'AH, chercher AO.
Les dérivées de fonctions composées doivent être appliquées automatiquement. La règle de la chaîne s'applique à chaque fois qu'il y a une fonction composée.
f(x) = ln(x²+1) → f'(x) = 2x/(x²+1) g(x) = e^(x²) → g'(x) = 2x·e^(x²) h(x) = (2x+1)⁵ → h'(x) = 10(2x+1)⁴
Dériver ln(u) comme 1/u ou e^u comme e^u sans multiplier par u'. La dérivée de l'argument intérieur u' est OBLIGATOIRE à chaque fois.
Règle de la chaîne: toujours 'extérieur × intérieur'. (ln u)' = [1/u] × u'. (e^u)' = [e^u] × u'. La dérivée de l'intérieur multiplie toujours.
Déterminer Df est la première étape de toute étude. Les erreurs sur les inégalités strictes vs larges pour ln et la racine carrée sont très fréquentes.
f(x) = ln(x+1)/√(2−x). Condition ln: x > −1. Condition √ dénominateur: 2−x > 0 → x < 2. Df = ]−1 ; 2[
Écrire Df = ]−1 ; 2] (avec 2 inclus). FAUX: x=2 annule le dénominateur √(2−x)=0 → x=2 exclu. Dénominateur → toujours exclusion stricte.
Priorité: dénominateur = 0 toujours exclu > ln doit être > 0 > racine ≥ 0 (sauf dénominateur → > 0). Ordre: 'Dénominateur avant tout'.
Une fois f'(x) factorisé, le tableau de signe se construit mécaniquement. Chaque facteur change de signe à ses zéros, et le signe du produit se détermine terme à terme.
f'(x) = (x−2)(x+1). Zéros: x=−1 et x=2. Sur ]−∞;−1[: (−)(−)=+ → f croît. Sur ]−1;2[: (−)(+)=− → f décroît. Sur ]2;+∞[: (+)(+)=+ → f croît.
Conclure extremum en tout point où f'(x) = 0. Si f'(x) = (x−1)² ≥ 0 toujours, f' ne change pas de signe → pas d'extremum mais point d'inflexion.
+ vers − = maximum. − vers + = minimum. Pas de changement = point d'inflexion à tangente horizontale. Mémo: 'Monte puis descend = sommet | descend puis monte = creux'.
La forme exponentielle des complexes et les racines n-ièmes sont testées dans les concours récents. Les racines cubiques (n=3) avec ω = e^(2πi/3) reviennent régulièrement.
Q 2024-2025: 'Les racines cubiques de l'unité vérifient 1 + ω + ω² = 0' → VRAI. Et: 'ω = e^(πi/3)' → FAUSSE. ω = e^(2πi/3) (pas e^(πi/3)).
1) Écrire ω = e^(πi/3) au lieu de e^(2πi/3). Le facteur 2 est indispensable. 2) Oublier la propriété 1 + ω + ω² = 0. 3) Confondre module et argument.
Racines cubiques: diviser 2π en 3 parts = 2π/3 entre chaque racine. ω = e^(2πi/3). Propriété clé: 1 + ω + ω² = 0. En algébrique: ω = −½ + i√3/2.
Le TVI est testé chaque année dans les QCM de fonctions. Les deux conditions (f continue sur [a,b] et f(a)·f(b) < 0) doivent être vérifiées avant d'appliquer le théorème.
Q 2024-2025: f(1)=3 et f(3)=−2. 'Il existe c ∈ [1,3] tel que f(c)=0' → VRAI si f continue. Et: 'si f(1)·f(3) > 0, il n'y a aucune racine' → FAUSSE (on ne sait pas).
1) Appliquer TVI sans vérifier la continuité. 2) Conclure qu'il n'y a PAS de racine quand f(a)·f(b) > 0. 3) Confondre existence (TVI) et unicité (TVI + strictement monotone).
TVI: 2 conditions = continu + signes opposés → 1 conclusion: racine existe. Si f aussi strictement monotone → racine unique. Mémo: 'signe + signe − = un zéro entre les deux'.
La technique de substitution dans les intégrales est testée en QCM. La formule ∫u'/u dx = ln|u| + C est la plus fréquente, suivie de ∫u'·f(u) dx.
Q 2024-2025: ∫₁² (2x)/(x²+1) dx. u=x²+1, u'=2x → [ln(x²+1)]₁² = ln5 − ln2 = ln(5/2). Résultat: ln(5/2) → VRAI.
1) Oublier les valeurs absolues dans ln|u|. 2) Choisir le mauvais u. 3) Oublier de substituer dx (dx = du/u'). 4) Dans les IPP, choisir u et v' dans le mauvais sens.
Voir u'/u → penser ln. Voir u'·e^u → penser e^u. Voir u'·cos(u) → penser sin(u). Règle LIATE = ordre de priorité pour choisir u en IPP.
La détermination du domaine de définition est testée dans les QCM de calcul et d'étude de fonctions. Les conditions pour chaque fonction élémentaire doivent être connues et combinées correctement.
Q 2024-2025: f(x) = ln(x²−4). Domaine: x²−4 > 0 → |x| > 2 → x ∈ ]−∞,−2[ ∪ ]2,+∞[. 'Le domaine est ]−2,2[' → FAUSSE (c'est le complémentaire).
1) ln(x²−4) > 0: la condition est x²−4 > 0, pas ≥ 0. 2) x²>4 → deux intervalles (valeurs négatives aussi). 3) Pour √(ln(u)): double condition u>0 ET u≥1.
ln → strictement positif. √ → positif ou nul. 1/u → u≠0. Combiner de l'intérieur vers l'extérieur. Double condition pour √(ln(u)): u>0 ET u≥1 → garder u≥1.
La démonstration par récurrence est testée sous deux formes: QCM sur la validité d'une étape, ou reconnaître une erreur dans une preuve fournie.
Q 2025-2026: 'À l'étape d'hérédité, on suppose que P(n) est vraie pour tout n ≥ 1' → FAUSSE. On suppose P(n) vraie pour UN n FIXÉ.
1) Écrire 'pour tout n' dans l'hypothèse: FAUX (pour UN n fixé). 2) Sauter l'initialisation. 3) Oublier la conclusion finale.
IHC = 3 étapes: Init → Hypothèse (1 seul n fixé) → Hérédité (prouve n+1). Mémo: 'un domino tombe (init), si un tombe le suivant tombe (hérédité) → tous tombent'.
Les QCM de géométrie dans l'espace portent sur les plans, vecteurs normaux et calculs de distances. La formule de distance d'un point à un plan est testée directement.
Plan (P): 2x−y+2z−3=0. Point M(1,2,3). d = |2(1)−1(2)+2(3)−3| / √(4+1+4) = |3|/3 = 1. Vecteur normal: (2,−1,2).
1) Oublier la valeur absolue dans la formule de distance. 2) Calculer √(a+b+c) au lieu de √(a²+b²+c²). 3) Confondre vecteur normal (a,b,c) et vecteur directeur.
Plan ax+by+cz+d=0 → n⃗=(a,b,c). Distance = |ax₀+by₀+cz₀+d| / ||n⃗||. Pied H: droite par M de direction n⃗, puis intersection avec le plan.