Astuces Maths — Concours Médecine Maroc
Toutes les formules clés, pièges classiques et techniques de calcul rapide pour réussir l'épreuve de maths du concours de médecine au Maroc.
50+Astuces
11Chapitres
20+Exemples corrigés
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Calcul de limites
Très fréquent Règle de L'Hôpital ▾
Quand on obtient une forme indéterminée 0/0 ou \infty/\infty, on dérive numérateur et dénominateur :
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
Conditions :
- f et g continues sur [c,d] avec \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0
- f'(x) et g'(x) continues en x = a
- g'(x) \neq 0 au voisinage de a
Exemple : \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}. Forme 0/0. L'Hôpital : \frac{3x^2}{2x}\Big|_{x=1} = \frac{3}{2}
Piège : Vérifiez d'abord que la forme est bien indéterminée avant d'appliquer L'Hôpital !
Très fréquent Changement de variable ▾
On pose u = g(x) pour se ramener à une limite connue :
\text{Si } \lim_{x \to a} g(x) = b \text{ et } \lim_{u \to b} f(u) = l \text{, alors } \lim_{x \to a} f \circ g(x) = l
Exemple : \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{3x}}{x^2}. Posons X=3x : \frac{e^{3x}}{x^2}=\frac{9e^X}{X^2}\to+\infty
Exemple : \lim_{\substack{x\to2\\x>2}}(x-2)\ln(x-2). On pose t=x-2\to0^+, et on utilise \lim_{t\to0^+}t\ln t=0.
Fréquent Limites classiques à connaître par cœur ▾
\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \quad \text{(l'exponentielle domine tout polynôme)}
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^{\alpha}} = 0 \quad (\alpha > 0)
\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0 \quad (n > 0)
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
Astuce : Hiérarchie de croissance : \ln x \ll x^{\alpha} \ll e^x. Permet de conclure instantanément.
Fréquent Théorème des gendarmes (Sandwich) ▾
Si u_n \leq v_n \leq w_n et \lim u_n = \lim w_n = l, alors \lim v_n = l.
Exemple : f(x)=\frac{\sin x}{x^2+1}. Comme -\frac{1}{x^2+1}\leq\frac{\sin x}{x^2+1}\leq\frac{1}{x^2+1} et les bornes tendent vers 0, \lim_{x\to+\infty}f(x)=0.
Utile Théorème des accroissements finis ▾
Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors \exists\, c\in\,]a,b[ tel que :
f(b)-f(a)=(b-a)\cdot f'(c)
Utilisation : Sert à encadrer f(b)-f(a) quand on connaît un encadrement de f'.
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Équivalents classiques
Très fréquent Équivalents en 0 — Liste indispensable ▾
Quand x \to 0 :
\sin x \sim x \qquad \tan x \sim x \qquad \arcsin x \sim x \qquad \arctan x \sim x
\ln(1+x) \sim x \qquad e^x - 1 \sim x \qquad \text{sh}\,x \sim x \qquad \text{th}\,x \sim x
1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} \qquad \text{ch}\,x - 1 \sim \frac{x^2}{2} \qquad (1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x
Piège : \cos x \sim 1 ne sert à rien ! L'équivalent utile c'est 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}.
Très fréquent Équivalents pour les suites (u_n → 0) ▾
Si u_n \to 0 :
\sin u_n \sim u_n \quad \tan u_n \sim u_n \quad \ln(1+u_n) \sim u_n \quad e^{u_n}-1 \sim u_n
1-\cos u_n \sim \frac{u_n^2}{2} \qquad (1+u_n)^{\alpha}-1 \sim \alpha u_n
Exemple : u_n = n\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right). Comme \frac{3}{n}\to0, on a \ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right)\sim\frac{3}{n}, donc u_n\sim n\cdot\frac{3}{n}=3.
Fréquent Règles d'utilisation des équivalents ▾
- Produit : f\sim f_1, g\sim g_1 \Rightarrow fg\sim f_1g_1
- Quotient : \frac{f}{g}\sim\frac{f_1}{g_1}
Piège : On ne peut PAS utiliser les équivalents dans une somme ou différence !
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Suites et séries — Convergence
Très fréquent Règle de d'Alembert ▾
Soit (u_n) à termes strictement positifs. Si \lim \frac{u_{n+1}}{u_n}=L :
L < 1 \Rightarrow \text{converge} \qquad L > 1 \Rightarrow \text{diverge}
Exemple : u_n=\frac{3^n}{n!}. On a \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3}{n+1}\to 0 < 1. La série converge.
Très fréquent Règle de Cauchy ▾
Si \lim \sqrt[n]{u_n}=L :
L < 1 \Rightarrow \text{converge} \qquad L > 1 \Rightarrow \text{diverge}
Exemple : u_n=\!\left(\frac{2n}{2n+3}\right)^{\!n^2}. \sqrt[n]{u_n}=\!\left(\frac{2n}{2n+3}\right)^{\!n}=\frac{1}{(1+3/(2n))^n}\to\frac{1}{e^{3/2}}<1. Converge.
Astuce : Cauchy est plus efficace que d'Alembert quand le terme général contient une puissance n-ième.
Fréquent Théorème de comparaison ▾
Si u_n\leq v_n pour tout n, et \lim u_n=l_1, \lim v_n=l_2, alors l_1\leq l_2.
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Sommes télescopiques et sommes usuelles
Très fréquent Les 3 sommes usuelles ▾
\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}
\sum_{k=0}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\sum_{k=0}^{n}k^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2
Moyen mnémotechnique : La somme des cubes est le carré de la somme des entiers !
Très fréquent Sommes télescopiques ▾
\sum_{k=1}^{n}\bigl[F(k+1)-F(k)\bigr]=F(n+1)-F(1)
Exemple : \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\sum\!\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}\!\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\right)
Fréquent Produits télescopiques ▾
\prod_{k=1}^{n}\frac{F(k+1)}{F(k)}=\frac{F(n+1)}{F(1)}
Exemple : \prod_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)}{2\cdot3\cdots n}=\frac{1}{n}
Utile Lien somme-produit ▾
\ln\!\left(\prod u_k\right)=\sum\ln(u_k) \qquad \exp\!\left(\sum u_k\right)=\prod e^{u_k}
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Binôme de Newton
Très fréquent Formule du binôme ▾
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k
Développements à connaître :
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4
(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
Fréquent (a−b)^n — Attention aux signes ! ▾
(a-b)^n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}a^{n-k}b^k
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
Piège : Les signes alternent : +, −, +, −... Le signe du terme k est (-1)^k.
Fréquent Triangle de Pascal ▾
\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}
n=0: 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1
n=4: 1 4 6 4 1
n=5: 1 5 10 10 5 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1
n=4: 1 4 6 4 1
n=5: 1 5 10 10 5 1
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Nombres complexes — Moivre et Euler
Très fréquent Formule de Moivre ▾
(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)
En écriture exponentielle :
(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}
Pour z=r(\cos\theta+i\sin\theta) : z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))
Très fréquent Formules d'Euler ▾
\cos\alpha=\frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2} \qquad \sin\alpha=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}
Utilisation : Permet de linéariser \cos^n\theta et \sin^n\theta — technique très fréquente au concours.
Fréquent Produit en forme trigonométrique ▾
(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\theta'+i\sin\theta')=\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')
Le module se multiplie, l'argument s'additionne : |z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|, \arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2).
Utile Logarithme d'un complexe ▾
Pour z=re^{i\theta} : \ln z=\ln r+i\theta
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Matrices et déterminants
Très fréquent Produit matriciel ▾
A(n\times m)\times B(m\times p)=C(n\times p)
C_{ij}=\sum_{k=1}^{m}A_{ik}\cdot B_{kj}
Piège : Le produit matriciel n'est PAS commutatif ! AB\neq BA en général.
Très fréquent Déterminant 3×3 ▾
Développement selon la première ligne :
\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)
Exemple : \begin{vmatrix}2&1&-1\\0&3&2\\1&-1&4\end{vmatrix}=2(12+2)-1(0-2)+(-1)(0-3)=28+2+3=33
Fréquent Inversibilité et déterminant ▾
A\text{ inversible}\iff\det(A)\neq 0
Si inversible : AA^{-1}=A^{-1}A=I_n et \det(A)\cdot\det(A^{-1})=1.
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Probabilités conditionnelles
Très fréquent Bayes et probabilités totales ▾
Probabilité conditionnelle :
P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}
Probabilités totales (si A_1,\ldots,A_n partition) :
P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)\cdot P(B|A_i)
Formule de Bayes :
P(A_j|B)=\frac{P(A_j)\cdot P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i)\cdot P(B|A_i)}
Très fréquent Arbre pondéré — Méthode ▾
- Dessiner l'arbre pondéré
- Pour chaque chemin : multiplier les probabilités le long des branches
- Pour P(B) : additionner tous les chemins menant à B
Exemple : 70% des étudiants viennent du lycée A (15% échouent), 30% du lycée B (10% échouent).
P(\text{réussite})=0{,}85\times0{,}70+0{,}90\times0{,}30=0{,}595+0{,}270=0{,}865
P(\text{réussite})=0{,}85\times0{,}70+0{,}90\times0{,}30=0{,}595+0{,}270=0{,}865
Piège : Ne confondez pas P(A|B) et P(B|A) !
Fréquent Événements indépendants ▾
P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\iff P(B|A)=P(B)
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Fonctions — Arctangente, partie entière, injectivité
Très fréquent Fonction Arctangente ▾
\arctan:\mathbb{R}\to\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[
(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}
Par définition : y=\arctan x\iff\tan y=x et y\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[.
Astuce : Quand vous voyez \frac{1}{1+x^2} dans une intégrale, pensez \arctan.
Fréquent Partie entière E(x) ▾
E(x)\leq x < E(x)+1
Exemples : E(2{,}853)=2, E(\pi)=3, E(-3{,}5)=-4
Piège : Pour les négatifs, E(-3{,}5)=-4 et non -3 ! On arrondit vers -\infty.
Fréquent Injective, surjective, bijective ▾
- Injective : tout élément de F a au plus un antécédent — f(x)=f(y)\Rightarrow x=y
- Surjective : tout élément de F a au moins un antécédent
- Bijective : exactement un antécédent (injective + surjective)
Exemple : f:[0,+\infty[\to[2,+\infty[, f(x)=x^2+2.
Injective : f(x)=f(y)\Rightarrow x^2=y^2\Rightarrow x=y (car x,y\geq0).
Surjective : pour y\geq2, on prend x=\sqrt{y-2}\geq0. Donc bijective.
Injective : f(x)=f(y)\Rightarrow x^2=y^2\Rightarrow x=y (car x,y\geq0).
Surjective : pour y\geq2, on prend x=\sqrt{y-2}\geq0. Donc bijective.
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Dénombrement et permutations
Très fréquent Permutations, arrangements, combinaisons ▾
P_n=n! \qquad A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!} \qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
Comment choisir ? L'ordre compte → arrangement. L'ordre ne compte pas → combinaison.
Fréquent Permutations avec répétition ▾
\overline{P}_n(n_1,\ldots,n_k)=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdots n_k!}
Exemple : Anagrammes de ABBC : \frac{4!}{1!\cdot2!\cdot1!}=12 arrangements possibles.
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Géométrie spatiale
Très fréquent Vecteurs et norme dans l'espace ▾
\vec{AB}=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix} \qquad \|\vec{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}
Très fréquent Produit scalaire ▾
\vec{u}\cdot\vec{v}=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v
\vec{u}\cdot\vec{v}=0\iff\vec{u}\perp\vec{v}
Exemple : \vec{u}=(2,5,-1), \vec{v}=(3,-2,4) : \vec{u}\cdot\vec{v}=6-10-4=-8
Très fréquent Équation d'un plan ▾
ax+by+cz+d=0
Le vecteur normal est \vec{n}=(a,b,c).
Astuce : Pour montrer que \vec{DE} est normal au plan (ABC), vérifiez \vec{AB}\cdot\vec{DE}=0 ET \vec{AC}\cdot\vec{DE}=0.
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